Déjà si tu as des allergies c'est pas un rhume à proprement parler, enfin c'est pas un truc qu'on attrape. Une allergie c'est pas contagieux, c'est juste transmissible génétiquement, puisque c'est pas une maladie, c'est ton corps qui se défend alors qu'il ne le devrait pas et/ou de manière excessive. Donc pas de souci, tu peux pas lui donner ça (conseil d'ami : si ça te pourrit la vie, demande un antiallergique à ton médecin, ça change vraiment tout ! ^^).
Et après de manière très générale, les maladies qui se transmettent entre les espèces existent, mais c'est rare.
Je te conseille comme Noiset d'appeler ton véto, de voir avec lui combien de temps il faut que vous attendiez pour que les résultats soient fiables -- car ils peuvent être faussés par le traitement aux antibio -- et de procéder un prélèvement quand ce sera bon. Sur le coup ça te coûtera plus cher, mais au moins tu donneras un traitement qui sera efficace donc tu auras tout à y gagner, et c'est mieux pour ta lapine car les antibio c'est pas terrible pour le foie.
En plus à Lille tu as une super clinique, demande l'adresse à Noiset si jamais ce n'est pas déjà là-bas que tu vas.